Un grupo de matemáticos consigue descifrar un problema geométrico formulado hace 40 años

La geometría discreta estudia las propiedades combinatorias de puntos, líneas, círculos, polígonos y otros objetos geométricos. Cuál es la mayor cantidad de bolas del mismo tamaño que pueden caber alrededor de otra bola del mismo tamaño, cuál es la forma más densa de apilar círculos del mismo tamaño en un avión, o bolas en un espacio contenedor, son algunas de las preguntas que se abordan mediante geometría discreta.

La prueba, publicada por el Instituto de Tecnología de Israel y Alexandr Polyanskii del Instituto de Física y Tecnología de Moscú en la revista 'Geometric and Functional Analysis, resuelve la conjetura de la zona de Tóth, estrechamente relacionada con una serie de otros problemas de geometría discreta que se resolvieron en el siglo XX al tratar de cubrir una superficie con tiras. El primero de ellos fue el llamado problema del tablón, que incluía cubrir un disco con tiras limitadas por líneas paralelas.

Alfred Tarski y Henryk Moese ofrecieron una prueba simple que muestra que el ancho combinado de estas tiras, o tablones, no puede exceder el diámetro del disco. Es decir, no hay mejor manera de cubrir un disco que con una sola tabla cuyo ancho es igual al diámetro del disco.

Thoger Bang luego resolvió el problema al cubrir un cuerpo convexo arbitrario con tiras. A saber, demostró que el ancho combinado de las tiras que cubren un cuerpo convexo es al menos el ancho del cuerpo en sí, es decir, el ancho mínimo de una sola tira que cubre el cuerpo.

El problema abordado por los autores es diferente, ya que implica cubrir una unidad de esfera con zonas especialmente construidas. Específicamente, cada zona es la intersección de la esfera con una cierta tabla tridimensional, donde una tabla es la región del espacio contenida entre dos planos paralelos que son simétricos con respecto al centro de la esfera.

Alternativamente, las zonas se pueden definir en el espacio métrico geodésico sin recurrir a tablones: una zona de ancho X en la superficie de una esfera unitaria es el conjunto de puntos que no se encuentran a más de X/2 del gran círculo o ecuador, con las distancias entre puntos medidos como los arcos más cortos que los conectan.

Los matemáticos tenían que encontrar el ancho mínimo combinado de tales zonas que cubrían la esfera de la unidad. Por lo tanto, el problema difiere de los resueltos previamente en cómo se mide el ancho: se define como la longitud de un arco, en lugar de la distancia euclidiana entre líneas o planos paralelos.

La prueba presentada por Ziling Jiang y Polyanskii fue inspirada por Bang, quien resolvió el problema al cubrir un cuerpo con tiras formando un conjunto finito especial de puntos dentro del cuerpo, uno de los cuales supuestamente no estaba cubierto por ninguna de las tiras.

En cierto modo, tanto Bang como los autores producen una prueba por contradicción. En el caso de la conjetura de Fejes Tóth, los matemáticos hipotetizaron que el ancho combinado de las zonas que cubrían completamente la esfera era menor que pi, la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, y buscaban llegar a una contradicción, es decir, encontrar un punto en la esfera pero no en ninguna de las zonas.

Los autores han demostrado que es posible formar un conjunto de puntos en el espacio tridimensional de modo que al menos un punto no quede cubierto por los tablones que constituyen las zonas. Si todo este conjunto se encuentra dentro de la esfera, entonces es relativamente fácil trazar otro punto en la esfera que tampoco está cubierto por las tablas, y por lo tanto por las zonas.

Si alguno de los puntos del conjunto se encuentra fuera de la esfera, resulta posible sustituir una zona más grande por varias más pequeñas, cuyo ancho combinado es igual al de la zona más grande. Por lo tanto, es posible reducir el número de zonas en el problema inicial sin afectar su ancho combinado.

Eventualmente, se identifica un punto en la esfera que no está cubierto por las zonas. Esto va en contra de la hipótesis de que el ancho combinado de las zonas es menor que pi, lo que demuestra la conjetura de Fejes Tóth.