Los chinos dominarán hasta los restos (matemáticos)

Sun Tzu es el padre del conocido como teorema chino de los restos, que se usa para operar con números grandes llevándolos a números pequeños. Se basa en jugar con las congruencias y asegura que si dividimos algo en paquetes de una cantidad N1, y después en paquetes de una cantidad N2 -y así de las formas que queramos, pudiendo sobrar algo siempre- siempre podemos determinar el número original. La única condición: esos N1, N2…  deben de ser primos entre sí.

Vamos a ver un ejemplo poniéndonos épicos y entrando en el universo de George RR Martin, el 'mata-héroes'. Imagina que en Desembarco del Rey tienen un tesoro y que todas las casas de los siete reinos quieren su parte.

Si eres fan de la saga sabrás que hay 15 casas. Imagina que en el primer reparto equitativo sobran 5 monedas de oro. No sabiendo cómo repartirse estas 5 monedas, se pelean y mueren los representantes de 8 casas como moscas. Ahora tendríamos 7 casas (primo de 15, y además coincide que también los Lannister son primos entre sí).

Resulta que siguen sobrando monedas de oro a repartir, esta vez 4. Se pelean a muerte y sobreviven -¡oh casualidad!- Solamente los Stark y los Lannister. Dos casas. Se deciden repartir todo y resulta que sobra una moneda de oro (y se la dan a Meñique, que es muy listo, como los chinos).

Pues como teníamos 15 casas, después 7 y después 2 casas, y 15, 2, y 7 son primos entre sí -es decir, no tienen divisores comunes- el teorema chino de los restos nos asegura que esto se puede resolver.

Por pasos

En el primer reparto había 15 casas y sobraron 3 monedas:

3 (mod 15), 3+15r

Después de la primera criba de George, tenemos

4 (mod 7) = 3+15r → r=1(mod 7)

Y en la última tenemos

1 (mod 2) = 1+7s

Reemplazando, podríamos calcular la solución de la ecuación:

123+210k

Por tanto, se estaban repartiendo un mínimo de 123 monedas de oro.

Los chinos saben mucho. Saben de restos, y de sumos (¿o eso eran los japoneses?)