¿Crees que en Madrid habrá dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza?

En matemáticas, como en la vida en general, ocurre, a veces, muchas, que las cosas que, a primera vista parecen más pequeñas e insignificantes, producen resultados y/o satisfacciones más profundas y duraderas. Parafraseando a nuestro Serrat, son esas pequeñas cosas que nos dejó no un tiempo de rosas, sino, en este caso, un matemático alemán del siglo XIX, Dirichlet. Me estoy refiriendo hoy al Principio del Palomar. No confundir con el principio castizo de Juan Palomo, que no tiene nada que ver. El de Juan es más de políticos con cargos que de matemáticos...

¿Qué nos asegura el Principio del Palomar? Pues algo tan evidente como que si tienes más palomas que palomares donde alojarlas, en un palomar tiene que haber más de una paloma. Digo. Supongo que alguien habrá pensado: “pues, vaya, también se quebró el alemán al deducir esto...” Bueno, sí, es una propiedad, como he dicho, evidente, pero se acepta que el primero que la formuló formalmente fue  Gustav Lejeune Dirichlet, allá por 1834. Por la mañana, creo.

Con probabilidad 1, del hecho de que si tienes más palomas que palomares, tienes que meter en algún palomar más de una paloma, se habían dado cuenta mucha gente mucho antes. Pero si hoy dedicamos este artículo a recordarlo es por el hecho de que, como se dijo al comienzo de mismo, son muchas y muy variadas las consecuencias que se pueden deducir de este principio. Vamos a repasar algunas.

Comenzando con un ejemplo de palomas y palomares, es fácil entender que si tienes 10 palomas y 3 palomares, en alguno de ellos como máximo hay 3 palomas. ¿Por qué? Porque para que  los 3 palomares tuviesen, al menos, 4 palomas, se necesitan, de entrada, 12 de las colúmbidas.

Ilustración de Raquel Garcia Ulldemollins

En general, si tenemos que distribuir n objetos en 3 cajas, siempre habrá una de ellas con, como máximo, n/3 de esos objetos (si n/3 no es entero, tiene decimales, nos quedamos con la parte sin decimales). Es decir, que si tengo 100 objetos en 3 cajas, en una de ellas habrá, como máximo, 33 objetos (en otro caso, cada caja tendría 34 o más y eso son más de 100). A su vez, esta propiedad tan evidente, la de las 3 cajas o los 3 palomares, tiene aplicaciones, por ejemplo, en problemas de vigilancia en una galería de arte. Pa que vean...

En cuestiones más mundanas, el Principio del Palomar nos permite afirmar, por ejemplo, que en Madrid hay, al menos, 2 personas que tienen el mismo número de cabellos en la cabeza. Efectivamente: si consideramos que en la capital de España hay más de 3 millones de habitantes y que una persona, como máximo, tiene como máximo 200000 pelos en la cabeza, ya lo tenemos. Basta con imaginar que asignamos a cada habitante una papeleta con su número de pelos escrito en ella. Hay muchos más habitantes que papeletas, algunas están repetidas. Al menos, una.

También como curiosidad que comentar a la hora del café, podemos afirmar que en una reunión de 10 personas, hay, al menos 2, que han saludado al mismo número de asistentes. ¿Cómo? Pues porque sabemos que en esa reunión no pueden haber, a la vez, una persona que no haya saludado a nadie y otro que haya saludado a todos, claro. En ese caso, el número de personas saludadas por los asistentes es, o bien uno de estos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (si hay un malaje que no saludó a nadie y al que nadie saludó), o bien {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (si no vino el malaje). En cualquier caso, si etiquetamos a cada asistente con el número correspondiente al número de personas que saludó, tenemos 9 etiquetas para 10 asistentes, más palomas que palomares, por lo tanto, 2 de ellos han saludado al mismo número de personas.

También usando el palomar, se puede asegurar, por ejemplo, que al elegir (al azar) 7 números naturales distintos entre 1 y 11, dos de ellos sumarán 12. ¿Cómo? Metemos los números del 1 al 11 en 6 cajas, de manera que en cada caja, el contenido sume 12, como en la figura:

A continuación, tenemos que escoger los 7 números de las cajas y solo tenemos 6 cajas, por lo tanto, tendremos que elegir los 2 números de una ellas y ya lo tenemos.

Estas son algunas consecuencias sencillas del Principio del Palomar, pero hay muchas más, muy interesantes y llamativas para matemáticos y no matemáticos. A mí me encanta la de que si pintas 5 puntos con un rotulador en una pelota (esfera), siempre 4 de ellos están en la misma mitad de la pelota, en un único hemisferio.  Sí, sí. Es así, aunque pueda parecer que no. Si pintas los 2 primeros,   ya tienes definidos los 2 hemisferios, considerando el plano que definen esos 2 puntos que has pintado y el centro de la esfera, y cortándola con dicho plano. Es decir, ya hemos definido el ecuador. Ahora tienes que pintar 3 puntos y solo tienes 2 hemisferios...

Los puntos sobre el ecuador se consideran puntos pertenecientes a ambos hemisferios. Chulísimo, ¿no?

También con el principio del palomar se deduce que si hay más de 366 personas en un grupo, dos de ellas cumplen años el mismo día. Pero en el tema de los cumpleaños es mucho más llamativo el hecho de que con solo 57 personas, la probabilidad de que haya, al menos, 2 que cumplan años el mismo día es del 99%. Pero esto tiene que ver con la paradoja del cumpleaños, ya lo explicamos otro día.

Ahora les propongo un reto para la hora del café, para no hablar de cómo está la cosa: cómo se demuestra que si se sientan, al azar, 9 personas en una fila de 12 sillas, tienen que haber 3 sillas consecutivas ocupadas. Siempre pueden probar todas las posibilidades, pero eso es muy largo... Piensen en palomas y palomares...