Matemáticas para la final de la Champions: cómo sacar partido a tu posición en el campo

Los no aficionados pensábamos que una vez terminada la Liga podríamos descansar, pero nada más lejos de la realidad. Se acercan fechas en las que seguimos oyendo hablar de fútbol a todas horas. Incluso fútbol revestido de lo que parece una teoría científica o filosófica, porque no suena a otra cosa eso del “cholismo”. Ignoro si efectivamente dicho “palabro” encierra algo de ciencia, pero sí que cada vez más deportes, y muy especialmente el fútbol, son analizados con herramientas científicas.

Naturalmente la medicina juega un papel primordial, pero también diversas ramas de las matemáticas son cada vez más utilizadas para analizar el juego de cada equipo y determinar tácticas que permitan un mejor rendimiento.

Es evidente que muchos deportes (¿todos?) no serían hoy los mismos sin el uso de la estadística. Vemos después de cada partido de tenis los distintos factores numéricos que han conducido a la victoria de uno de los oponentes, los porcentajes de tiro en baloncesto y cuánto tiempo ha estado en posesión del balón cada equipo de fútbol. Pero, en realidad, se tienen muchos más datos que pueden ser usados por algunos equipos.

Por ejemplo, como ya tratamos, ciertos especialistas en Teoría de Grafos habían predicho el triunfo de España sobre Holanda en la final del Mundial de 2010 basándose en el grafo de los pases de ambos equipos (examinando las estructuras de los dos grafos, concluían que era más fácil para España anular el juego de Holanda que el caso inverso).

Hoy quiero hablar de otra herramienta mide otra herramienta muy apreciada que cuenta cómo de bien posicionado está un equipo para dominar el juego: el diagrama de Voronoi.

Para ello, se divide el plano en tantas regiones como puntos u objetos tengamos, de tal forma que a cada punto le asignamos la región formada por todo lo que está más cerca de él que de cualquier otro. Pueden pensar, por ejemplo, que los puntos son pizzerías y que las regiones asociadas a cada punto (pizzería) será su correspondiente zona de reparto por ser ella (la pizerría en cuestión) la más cercana.

Así, el diagrama de Voronoi de dos puntos viene dado simplemente por la perpendicular en el punto medio del segmento que une los dos puntos (la mediatriz de los dos puntos)

Mientras que el diagrama de tres puntos viene a tener esta forma:

Y así sucesivamente. Tienen más información sobre este diagrama en esta misma casa cuando hablamos del ataque a Pearl Harbor.

Vamos a ver cómo usar esta información para determinar qué equipo está mejor posicionado en el campo.

Supongamos que tenemos dos equipos (equipo rojo y equipo azul) que ocupan esta posición:

La ventaja posicional de uno sobre otro puede que a simple vista no esté muy clara, pero si dibujamos el diagrama de Voronoi de los jugadores, obtenemos:

Se ve mejor sobre todo si coloreamos cada una de las regiones:

Se puede observar que el equipo azul no sólo ocupa mayor región del campo, sino que sus regiones están todas conectadas, con lo cual se favorecen los pases entre los distintos jugadores de dicho equipo (cosa que no ocurre con el rojo).

Naturalmente, si los jugadores se mueven, dicho diagrama se va modificando, pero existen herramientas que permiten actualizar la computación del diagrama de Voronoi en tiempo real y así podemos ver qué equipo está mejor posicionado y qué hacer en cada caso.

Por ejemplo, con la situación anterior, el equipo azul debe intentar pases cortos y hacer llegar el balón al delantero centro que tiene una buena vía directa hasta el portero contrario. Por contra, si el esférico lo poseyera el equipo rojo, debe intentar un pase largo a un lateral y que sus dos jugadores que están sobre el círculo central se intenten separar para encontrar más opciones de pase.

Por lo tanto, conociendo la distribución de regiones en cada momento, dispondremos de criterios eficientes para hacer un determinado tipo de pases o no.

Pero como decíamos los jugadores no son puntos fijos en el campo sino que se van moviendo, habría que tener esto en cuenta también. Para ello podemos refinar el cálculo, como nos proponen Joachim Gudmundsson y Michael Horton desde la Universidad de Sidney. Se trata de asignar las regiones de influencia de cada jugador en función de su posición y de la dirección de su movimiento.

En la figura siguiente tenemos un ejemplo de cómo quedarían ahora las regiones: el jugador del la izquierda se mueve hacia la derecha a gran velocidad mientras que el jugador de la derecha está parado. Sombreamos de gris el área formada por los puntos a los que llega antes el jugador de la izquierda en función de su posición, dirección y velocidad de movimiento. La región en color blanco estará formada por los puntos del terreno de juego a las que el jugador de la derecha llegaría antes que el de la izquierda.

Como ven, si tenemos en cuenta el movimiento y la dirección del mismo en los jugadores, sus regiones en el diagrama dinámico de Voronoi pueden no ser conexas, es decir, que puede que su zona de influencia esté compuesta por dos trozos separados.

Con todo esto, si tenemos en cuenta el movimiento de los jugadores, el diagrama de Voronoi más preciso de dos equipos tendría más bien esta forma:

En esta representación se observa que ahora algunas de las líneas que separan dos regiones pueden ser curvas.

Pero el diagrama de Voronoi no sólo se puede utilizar para el análisis de las posiciones y movimientos de dos equipos: además puede ayudar a desarrollar las habilidades de cada jugador, ya que si va a hacer un regate a un contrario es bueno que sepa a qué región tiene acceso más rápido él que su contrario.

No sé si el “cholismo” conoce de estas técnicas, pero seguro que algunos de los equipos punteros mundiales sí lo hacen y van mejorando poco a poco su capacidad de análisis y sus técnicas a la hora de enfrentarse a otros rivales.

Mientras comienza el partido, o si no piensan verlo, pueden entretenerse jugando al fútbol con gatitos y Voronoi (no se me ocurre nada más nerd y entrañable) con 'Cosmic Kittens', un juego que se pueden descargar gratis.

Que disfruten del partido. O no.