La paradoja del cumpleaños

Si bien es cierto que las matemáticas sirven para demostrar resultados que nos sugieren la observación y la intuición, no menos cierto es que, a veces, algunos resultados matemáticos parecen contradecir la intuición. En esta misma sección ya hemos tratado alguno de ellos: el problema de Monty Hall, por ejemplo, o la paradoja de la amistad, que asegura que tus amigos tienen más amigos que tú y que, por cierto, se emplea en campañas de vacunación y control de epidemias, ahora que el tema está tan presente.

Posiblemente, uno de los resultados más sorprendentes en este sentido el de la paradoja del cumpleaños ¿De qué se trata? Si les digo que en una clase hay 23 alumnos y les pregunto cuál es la probabilidad de que haya dos de ellos que cumplan años el mismo día, ¿qué responderían? Mucha gente piensa que esa probabilidad es cercana a 0, puesto que el año tiene 365 (o 366) días y que si solo hay 23 niños con casi el 100% de probabilidad no haya dos que cumplan el  mismo día.

Sí, posiblemente esto es lo que nos dicta la intuición, pero vamos a calcularlo.

Llamaremos A al suceso de que hay dos niños con el mismo cumpleaños en la clase; lo que queremos calcular es la probabilidad de que ocurra A, a esta probabilidad la llamamos P(A).

P(A)=probabilidad de que, en un grupo de 23 personas, haya dos con el mismo cumpleaños

En lugar de calcularla directamente, vamos a calcular la probabilidad contraria, la probabilidad de que no ocurra A, y a esta la llamaremos P(B) (llamamos B al suceso 'no hay dos niños que cumplan años el mismo día', es decir, los 23 niños tienen 23 fechas de cumpleaños diferentes).

P(B)=probabilidad de que, en un grupo de 23 personas, todos tengan fechas distintas de cumpleaños

Una vez calculada P(B), tendremos que P(A)=1-P(B).

Vayamos por partes, como Dexter. Si en lugar de 23, solo hubiese dos niños en la clase, la probabilidad de B sería 364/365. ¿Por qué? Pues porque el primer niño cumple el día que sea y lo que tenemos que calcular es la probabilidad de que el segundo niño cumpla otro día diferente, es decir, le quedan 364 días favorables entre los 365 días posibles para no cumplir el mismo día.

Si fuesen tres niños, esta probabilidad anterior habría que multiplicarla por 363/365, que es la probabilidad de que el tercer niño cumpla otro día distinto de los dos anteriores, es decir, le quedan 363 días favorables sobre los 365 días que tiene el año:

Por esta misma razón, si fuesen cuatro niños, la probabilidad de B sería la siguiente:

Siguiendo con el razonamiento anterior, podemos deducir que la probabilidad de B, cuando son 23 niños, es decir, la probabilidad de que los 23 cumplan años en días diferentes, será:

Por lo tanto, la probabilidad de que 2 de ellos cumpla el mismo día, P(A), nos sale

P(A)= 1-P(B)= 0,507

Es decir, que la probabilidad de que  en una clase de 23 alumnos haya dos de ellos que cumplan años el mismo día es de; ¡tachán!, 50,7%, ¡mayor del 50%! No lo esperaban, ¿verdad? Y como les dije es un resultado que va en contra de la intuición.

Pero más aún, ¿qué probabilidad creen que hay  de que dos personas en un grupo de 57 tengan el mismo cumpleaños? Basta con repetir el procedimiento anterior, pero les adelanto que sale una probabilidad superior al 99%. Toma ya.

Ante la pregunta “¿cuántas personas debe tener un grupo para asegurar que dos de ellos cumplen años el mismo día?” mucha gente responde que 366 (si cuentan que el año tiene 365 días). Y sí, efectivamente, usando el principio del palomar del que hablamos por aquí, es cierto que si hay 366 personas, al menos dos de ellas cumplirán años el mismo día (367 para contar con los que cumplen el 29 de febrero).

Eso es suficiente para asegurarlo, pero no es siempre necesario porque acabamos de ver que con solo 57 ya podemos asegurar que ocurrirá con más de un 99% de probabilidad.

Ya ven, no siempre hay que dejarse llevar por la intuición, porque te la da con queso cuando menos te lo esperas.