¿Es posible hacer cualquier animalito con globos?

No hace falta ser un niño para que nos fascine ver cómo algunas personas son capaces de hacer perros, barcos y todo tipo de figuras con esos globos alargados, ese arte que ha venido a llamarse globoflexia. Evidentemente, para conseguir embobar a todos con globoflexia se necesita técnica (para no explotar los globitos), una poca de gracia (como para bailar la bamba) y matemáticas

Efectivamente, hay muchas matemáticas detrás de dichas figuras que, curiosamente, están relacionadas con el primer problema que se propuso (y resolvió) de una disciplina que hoy en día es muy fructífera: la Teoría de Grafos. Sí, esa misma teoría que hace unas semanas nos avisaba de que tu muro de Facebook te engaña o que nos ayudaba a explicar matemáticas para antivacunas.

De dicho problema y de su aplicación, por ejemplo al diseño de rutas para los camiones de basura, ya hablamos aquí. Resumido era que el matemático suizo Leonard Euler resolvió en 1736 un problema que se planteaba la gente de la ciudad de Königsberg -actualmente Kaliningrado-, situada en la desembocadura del río Pregel, dond había siete puentes como se muestra en la siguiente figura:

En aquellos tiempos alguien formuló la siguiente pregunta: ¿Es posible, comenzando en cualquier sitio de la ciudad de Könisberg, elegir un recorrido que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?

Esta cuestión es conocida como el Problema de los puentes de Könisberg y su solución, debida a Euler, permitió encontrar la respuesta a otro problema mucho más general: ¿qué tipo de figuras podemos dibujar sin levantar el lápiz del papel?

La respuesta de Euler fue bien simple: las figuras que podemos dibujar de un trazo están constituidas por puntos de unión, a los que llamaremos vértices, y líneas entre dichos puntos, a las que llamamos aristas. Pues bien, podremos dibujar sin levantar el lápiz del papel aquellas figuras tales que a cada vértice, salvo posiblemente a dos, van a parar un número par de aristas.

Así concluyó que el problema de los puentes de Könisberg no tiene solución porque hay más de dos vértices con un número impar de aristas. De hecho, todos los vértices del grafo de Könisberg tienen un número impar de aristas.

Actualmente, a estos diagramas con vértices y aristas que los unen los llamamos grafos, y a los grafos en los que a todos los vértices van a parar un número par de líneas los llamamos grafos eulerianos en honor a Euler. Sí, es el mismo Euler de la ecuación más bella del mundo.

¿Qué tiene todo esto que ver con los globos y las figuras que podemos hacer con ellos? Mucho

Es muy fácil asociar a cada figura formada con globos un grafo: los puntos en los que estrangulamos el globo y lo unimos con otra parte serán nuestros vértices y el trozo de globo entre vértice y vértice serán las aristas.

Se puede comprobar que es posible hacer una determinada figura con un globo si -y solo si- el grafo resultante tiene, como máximo, dos vértices a los que con un número impar de líneas (los dos extremos del globo, por ejemplo, que podrían estar unidos entre sí o a otro vértice).

Si nos fijamos en el típico perrito hecho con globos comprobamos que, efectivamente, el grafo asociado al perrito solo tiene dos vértices con un número impar de aristas: el morrito y el rabo.

Estos modelos fueron considerados por Erik y Martin Demaine (hijo y padre) y Vi Hart en este trabajo conjunto. En dicho artículo se plantean más cuestiones (y más interesantes) como, suponiendo que una figura no se pueda conseguir con un único globo, cuántos se necesirarían.

La respuesta se obtiene, de nuevo, contando los vértices con un número impar de aristas: si el número de tales vértices es p (se puede probar que p es siempre un número par), entonces, el número de globos necesarios será p/2.

Las dos cuestiones mencionadas anteriormente, aunque curiosas, no dejan de ser muy simples desde el punto de vista matemático, así que el trabajo de los Demaines y de Vi Hart contiene otros resultados mucho más complicados. Se preguntan por ejemplo si una figura es realizable dando condiciones a las longitudes de las uniones entre vértices y a las longitudes totales de los globos.

En este sentido demuestran que esos problemas si se pretenden resolver con ordenador son tremendamente complejos, ya que prueban que esos problemas pertenecen a la clase conocida como NP-completa. Dicha clase, este tipo de problemas, está muy relacionada con uno de los problemas abiertos más conocidos en la matemática y la computación en la actualidad: P vs NP. Se trata de uno de los problemas del Milenio propuesto por el Instituto Clay y cuya resolución lleva emparejado un premio de un millón de dólares.

Así que ya saben: igual doblando globitos consiguen resolver un problema que tiene de premio un millón de dólares (y la fama mundial).