¿Se puede oír la forma de un tambor?

Antes de responder, vamos a tratar de entender  el significado de la pregunta: qué es eso de oír la forma de un tambor. El tambor suele estar compuesto de una caja de resonancia y de una membrana que al vibrar produce el sonido que es amplificado por dicha caja. El objetivo de la pregunta es, en realidad, la membrana, que es la que produce el sonido.

En casi el 100% de los tambores la membrana es circular, cierto, pero a alguien se le podría ocurrir construir tambores con membranas triangulares o con aspectos aún más exóticos como un mapa de España, por ejemplo, o la cara de un ser querido. Pues bien,  existen unas ecuaciones que nos dicen cómo serán las vibraciones de una membrana en función de su forma.

Eso es así porque el sonido que producen los tambores  depende  de ciertos números asociados a dichas ecuaciones, números que se llaman los autovalores y juegan un papel fundamental en muchos problemas y aplicaciones de las matemáticas, como, por ejemplo, el método que utiliza Google para ordenar las páginas de internet cuando realizamos una búsqueda

Así que, retomando la pregunta, ¿pueden dos membranas con formas distintas tener asociados los mismos autovalores (y por tanto producirían el mismo sonido)?

Dicha pregunta fue formulada en 1966 por Mark Kac, aunque recogía cuestiones ya planteadas unos veinte años antes por Hermann Wey.

Nada más darse a conocer el artículo de Kac, John Milnor, uno de los matemáticos más brillantes de la segunda mitad del siglo XX, dio una primera respuesta a dicha pregunta (en realidad él había encontrado su ejemplo dos años antes). Lo malo es que la respuesta de Milnor era la típica que alguien de la calle echaría en cara a un matemático si lo quiere acusar de excesiva abstracción: Milnor dijo que existían tambores que suenan exactamente igual, producen el mismo sonido y cuyas membranas tienen forma totalmente distinta.

Muy bien ¿no? Bueno, el único problema es que los tambores de Milnor solo se pueden construir en un mundo con 16 dimensiones (más bien las membranas, necesitaríamos una dimensión extra para construir el tambor). Así que permanecía abierta la cuestión de si ello era posible con membranas bidimensionales como las de todos los tambores.

Para encontrar una respuesta en dimensión dos (una constante de muchos problemas matemáticos, el ser más fáciles de demostrar en espacios con muchas dimensiones que en nuestro pobre universo euclídeo tridimensional) hubo que esperar 25 años más hasta que tres matemáticos  -Carolyn Gordon, David Webb y Scott Wolpert-construyeron dominios bidimensionales que no son iguales pero que suenan exactamente igual.  Bien es verdad que la forma de los tambores también es un tanto “exótica” como puede verse aquí en esta imagen:

David Webb y Carolyn Gordon mostrando dos membranas que suenan igual (via American Mathematical Society)

Si le exigiéramos al tambor no ser tan exótico eliminando entrantes y picos (técnicamente, que la región sea convexa y analítica), entonces sí que se puede probar, tal y como hizo el matemático Steve Zelditch, que sí distinguiríamos la forma de la membrana por el sonido que produce. Esto es: dos membranas distintas siempre producen sonidos distintos.

Ya ven lo que da de sí un tambor en manos de matemáticos... Aunque, posiblemente, el científico más famoso que asociamos con tambores sea el señor Feynman.