¿Qué tiene Penrose en contra de los periódicos?

Los mosaicos se han usado como elementos decorativos desde hace muchísimo, muchísimo tiempo. Se ve que las repeticiones de patrones siempre han ejercido una poderosa atracción en el ser humano. Ya se pueden observar ciertos patrones en numerosas pinturas rupestres y, en algún sentido, podemos decir que la cumbre de dicha ornamentación se alcanza en nuestro país con la maravillosa Alhambra. Es una historia que se ha repetido muchas veces cómo la Alhambra influyó decisivamente en el pintor holandés Escher para sus creaciones. Pero tanto en la Alhambra como en las obras de Escher, la repetición juega un papel importante. Hoy vamos a hablar de unos mosaicos en los que la no repetición es lo fundamental. Y también lo bello. Al menos, desde el punto de vista matemático. Vamos a hablar de mosaicos aperiódicos.

Para entender qué es un mosaico aperiódico, vamos a ver primero que es un mosaico periódico. Supongamos que con unos cuantos modelos distintos de losetas somos capaces de enlosetar todo el plano tal y como se muestra en la figura:

Todos estos enlosetados tienen en común que las losetas que se han usado son: triángulos equiláteros, cuadrados o combinación de ambos. También comparten otra propiedad: con un sólo sector del plano ya tenemos la regla para ampliar esos enlosetados, esto es, para hacerlos infinitos hasta recubrir todo el plano repitiéndolos periódicamente. En algún sentido la clave está en que dado cualquier punto P de estos enlosetados, podemos encontrar dos puntos, Q y R, en dos direcciones distintas y no paralelas de tal forma que el mosaico desde cualquiera de esos tres puntos se ve exactamente igual. Eso es lo que se llama un mosaico periódico.

En la figura anterior, si elegimos, por ejemplo, el punto P, podemos encontrar Q y R, usando dos direcciones no paralelas, y desde los 3 puntos el mosaico se ve igual. Pero esto lo podemos hacer eligiendo como P como cualquier otro punto del mosaico.

Ahora vamos a ver un ejemplo sencillo de mosaico aperiódico, no periódico, en el que se ha usado solo un tipo de losetas: triángulos isósceles iguales.

Si nos fijamos (en la figura anterior) en el punto o los puntos centrales en estos mosaicos, no se pueden trasladar: no existen otros puntos desde los que el mosaico se vea exactamente igual: estos son lo que se llaman mosaicos no periódicos o aperiódicos. Ea, pues ya sabemos que con un triángulo isósceles se puede enlosetar el plano de forma periódica y de forma no periódica. Esto mismo ocurre con el cuadrado (se puede enlosetar el plano con cuadrados de forma periódica o aperiódica), sin embargo, si se usa un hexágono regular solo se puede enlosetar de una forma y es periódica: como un panal de abejas. Pero, ¿existe algún tipo de loseta (o conjunto de losetas) que solo permita enlosetar de forma aperiódica?

En la segunda mitad del siglo pasado los mosaicos no periódicos atrajeron la atención de varios matemáticos, sobre todo a partir de 1960, año en el que el matemático chino-americano Hao Wang se preguntó eso mismo, si existía algún conjunto de losetas aperiódicas distintas, esto es: que cualquier enlosetado que demos del plano con ellas ha de ser, necesariamente, un enlosetado aperiódico. De paso, Wang relacionó este problema con uno de los teoremas fundamentales de la matemática y la informática teórica como es el teorema de indecidibilidad de Gödel. Wang conjeturó que no existían conjuntos de losetas aperiódicas (esto es: él creía que con cualquier conjunto de losetas que se pueda recubrir el plano, se puede recubrir de forma periódica). Pero, no.

Pocos años más tarde, uno de sus alumnos (y después ilustre investigador en Teoría de Grafos), Berger, demostró que sí existían conjuntos de losetas aperiódicas y dio un conjunto de 20.426 losetas distintas que podían enlosetar el plano, pero que todo enlosetado con ellas iba a ser aperiódico forzosamente. El ejemplo de Berge suscitó una especie de carrera, porque 20.426 eran un montón de losetas... Así el propio Berger, consiguió ir reduciendo el tamaño de dicho conjunto hasta encontrar un conjunto de 104 losetas aperiódicas. Bueno, esto está bastante mejor, ¿no? ¿Se podía mejorar? Sí, y fue Knuth quien, en 1968, consiguió bajar el número hasta 92 losetas. Y aún mejor, Robinson en 1971 dio un conjunto de solo 6 losetas aperiódicas. En algún sentido todos los ejemplos anteriores eran similares y partían de la base de losetas cuadradas con modificaciones.

(Foto: Las losetas aperiódicas de Robinson)

Maravilloso. ¿no? Sin duda. Pero no se vayan todavía, aún hay más. Aún no ha entrado en el saloon nuestro Roger Penrose. Cuando nuestro amigo se puso manos a la obra, en 1974, inspirado por algunos trabajo de Kepler de unos 400 añitos antes, dio otro conjunto de 6 losetas aperiódicas pero de base pentagonal. Bueno, lo de 6 ya estaba, sí. Pero es que 2 años después, nuestro sheriff consiguió el récord mundial, por el momento: un conjunto formado por solo ¡2 losetas aperiódicas!: el dardo y la cometa. Pueden llorar, no se corten, a mí también me emocionan estas historias.

Ahí las tienen, preciosas y simples. Eso sí, hay que enlosetar usando estas 2 losetas y de forma que las líneas de color que están dibujadas en ellas dibujen líneas continuas al colocar las losetas, como en la imagen siguiente:

Si usan estas 2 losetas y respetan esa regla, pueden enlosetar todo el plano de forma aperiódica. Y preciosa, oigan.

Esta regla de que los colores dibujen líneas continuas, sin cortes en el plano, se puede imponer también dibujando el dardo y la cometa de la siguiente manera.

Ahora se trata de enlosetar con estas 2 sin dejar huecos y sin solapamientos. Ya verán qué bello queda su baño.

Por esta y otras razones, los mosaicos de Penrose han sido y siguen siendo muy estudiados. Se han descubierto numerosísimas propiedades de ellos, por ejemplo: la proporción de dardos y cometas necesarias para enlosetar el plano es el número de oro o proporción áurea y la sucesión de Fibonacci aparece por doquier en cualquier mosaico de Penrose...

Seguimos otro día hablando de Penrose y sus baldosas. Ahora les dejo tranquilos para que se pongan manos a la obra. Si les apetece, claro.