Sumas de infinitos números cuyo resultado es finito

¿Conocen la paradoja de Aquiles y la tortuga? En ella Aquiles competía en una carrera con una tortuga. En ella, consciente de que él era mucho más rápido, le da ventaja a la tortuga para que salga antes con él y, cuando la tortuga ya ha salido, preguntan si Aquiles alcanzará a la tortuga.

La duda se fundamenta en que antes de llegar hasta la meta, Aquiles tendrá que llegar a la mitad del camino, y antes de eso, a la mitad de la mitad del camino, y antes a la mitad de la mitad de la mitad del camino… y así indefinidamente. Así las cosas, el personaje no se movería nunca, ¿verdad?

Bueno, ya saben el final de esta historia. En realidad, no hay ninguna paradoja. El truco está en que, en contra de nuestra intuición, una suma de infinitos sumandos puede dar un resultado finito. Este es el ejemplo clásico para hablar de sumas de infinitos términos que tienen un resultado finito, pero no me quiero ir de vacaciones sin contarles otro que me parece muy atractivo e interesante.

Para nuestro siguiente truco necesitamos dos trenes y una mosca. Los trenes están sobre la misma vía, a 500 kilómetros de distancia, y avanzan en sentidos opuestos a velocidad constante de 100 km/h. Del frontal de uno de los trenes sale a la vez una mosca en su misma dirección, volando a 200 km/h. Una super-mosca, vaya.

Cuando choca con el otro tren, nuestra mosca cambia de sentido y va en busca del otro tren -ella es así-. Cuando lo encuentra, lo mismo, cambia de sentido y va en busca del otro. Y así sucesivamente. La pregunta es: ¿cuántos kilómetros recorre la mosca antes de morir aplastada por el choque de los dos trenes?

Vamos a pensarlo un poco, siguiendo la idea de lo de Aquiles y la tortuga, que fue como lo resolvió John von Neumann cuando se lo plantearon.

Salen los trenes, cada uno en su sentido, y la mosca. Cuando la mosca encuentre al tren que viene de frente, habrá recorrido el doble de distancia que el tren con el que salió (va al doble de velocidad) y el tren con el que ha chocado primero ha recorrido el mismo espacio que el otro tren. Eso quiere decir que si dividimos en tres el tramo que separaba a ambos trenes, cada uno de ellos ha recorrido ⅓ de dicho tramo y la mosca ⅔ del mismo.

Hemos dicho que la distancia inicial era 500 kilómetros, por lo tanto, la mosca ha recorrido ⅔ (500) km. Llamaremos x₁ a esa primera distancia recorrida por la mosca:

Cuando la mosca cambie de sentido después del primer choque, recorrerá (antes de volver a chocar) ⅔ de la distancia que los separaba cuando se produjo el primer choque, es decir, ⅔ de ⅓ de 500. Si llamamos x₂ a esa distancia, tendremos que:

O sea, que el segundo tramo que recorre nuestra mosca es un tercio del primero que recorrió. Siguiendo el razonamiento similar, llegaríamos a que el tercer tramo que recorre es un tercio del segundo y tendríamos para este tercer tramo al que llamamos x₃:

Ya habrán adivinado que el cuarto tramo, x₄, sería:

Y así sucesivamente.

Por lo tanto, la distancia total que recorrerá nuestra inquieta mosca sería la suma (infinita) de todos esos tramos que ya sabemos que podemos escribir así:

Si sacamos x₁ como factor común de esa suma tendremos que:

Y recordando que x₁ era ⅔ de 500 llegamos a que:

Ya casi lo tenemos, ¿no? Solo nos falta saber cuánto vale esta suma infinita:

Pero, alto, un momento. Sabemos cuántos kilómetros ha recorrido la mosca en total, ¿no? Si los trenes van a 100 km/h y están separados 500 kilómetros, se encontrarán a los 250 kilómetros, esto es, después de 2 horas y media.

La mosca ha estado volando todo ese tiempo a 200 km/h y, por lo tanto, el recorrido total de esta pobre ha sido de 500 kilómetros. De hecho, así lo habríamos resuelto los mortales y no como von Neumann.

Si sustituimos en nuestra ecuación, ¿qué tenemos?

Esto nos lleva a que...

Y, finalmente, tendremos que:

Ya ven, nuestra suma infinita solo sumaba 3/2, tan infinita y tan pequeñita ella…

Lo mejor de todo esto es que modificando las velocidades de los trenes -que no tienen que ser iguales- y de la mosca se pueden ir calculando distintas sumas infinitas que nos darán como resultado un número finito, siempre y cuando la mosca vuele a más velocidad que el más rápido de los dos trenes.

Asombroso, ¿no? Sigan disfrutando del verano.