La unión hace la fuerza (con una probabilidad altísima)

Llámenme desconfiada, pero en estos tiempos en los que la crisis aprieta hasta ahogar a muchos ciudadanos de nuestro país, me resulta llamativo y chocante que nuestros gobernantes se reúnan en pleno verano con tanto interés para evitar las concentraciones y protestas de aquellos para los que gobiernan ¿Qué es lo que temen? Efectivamente, que nos pongamos de acuerdo y nos movamos todos con el mismo paso en una dirección.

Recuerda a un acertijo clásico que es bastante revelador en ese sentido: cuanto más colaboren los prisioneros, mayor números de ellos conseguirán salvarse. Déjenme que se lo cuente porque, aparte de la moraleja, la solución desde el punto de vista matemático es muy curiosa.

En una prisión hay 500 prisioneros. Algún gracioso al mando de la institución decide un macabro juego para divertirse y lo anuncia por la megafonía de la prisión para la mañana siguiente: colocarán a los 500 presos en fila india y le pondrán a cada uno de ellos un gorro, que ellos (los prisioneros) no pueden ver, de color blanco o negro, aleatoriamente. En estas condiciones, cada prisionero, solo podrá ver los gorros de los que están delante de él en la maldita fila, pero no el suyo ni los de los prisioneros que están tras él. Tampoco saben cuántos gorros de cada color hay.

A continuación, el gracioso les preguntará, comenzando por el último de la fila, a cada prisionero de qué color es el gorro que lleva puesto: si aciertan los 500, todos serán liberados; en otro caso, los mandará a todos a la silla eléctrica.

Ningún prisionero tiene por sí mismo ninguna información sobre el color del gorrito que lleva. Si lo dicen cada uno de ellos al azar, sin pensar ninguna estrategia antes de la mañana siguiente, la probabilidad de acertar, para cada uno de ellos, es de un 50% (puesto que solo hay gorros de dos colores). Por lo tanto, si los presos al oír el anuncio del juego por megafonía se ponen a lamentarse de su suerte, a rezar o a llorar, la probabilidad de que se salven los 500 es de... ¿cero? Si lo calculan con su calculadora les dará posiblemente cero, aunque no, no es cero, pero casi. Es cero coma 150 ceros y después un 3.

Si en lugar de rezar y/o llorar al oír el tétrico anuncio los prisioneros deciden colaborar y diseñar una estrategia, las probabilidades de salvarse todos aumentan, como ocurre con todo.

Una de las estrategias que pueden pensar es que los prisioneros en las posiciones pares digan el color del gorro del prisionero que tienen delante. Así, el prisionero 500, que es el primero en hablar porque está en la última posición de la fila, diría el color del prisionero 499 que es el que está delante, el 499 acertaría, el 498 diría el color del gorro del 497, que acertaría, y así sucesivamente. Con esta estrategia, todos los prisioneros de las posiciones impares aciertan y los de las posiciones pares cuando el color de su sombrero coincidiera con el del que tienen delante. Es decir, que individualmente, cada prisionero tiene probabilidad 100% o 50% de acertar.

Hemos mejorado respecto a la situación de no ponerse antes de acuerdo, y se salvarían todos, los 500, con probabilidad... sí, también sale cero si lo hacen con su calculadora, pero es una probabilidad menos bajísima que la anterior, sería 0 coma 75 ceros y un 5.

¿Se puede hacer mejor? Pues sí, solo necesitamos pensar con calma, sin autocompadecernos y usando el -aproximadamente- kilo y medio de cerebro que cargamos sobre nuestros hombros.

La noche anterior pactamos lo siguiente: el prisionero 500 contará cuántos gorros blancos ve y hará lo siguiente: si ve un número par de gorros blancos dirá “blanco”; en otro caso, si el número de gorros blancos que ve es impar dirá “negro”. Ajá, efectivamente, ya está: los 499 prisioneros siguientes aciertan todos ¿Cómo? Pues contando los gorros blancos que ve.

Si el prisionero 500 dijo, por ejemplo, “blanco”, el 499 sabe que su colega ha visto un número par de gorros blancos. Ahora cuenta, el 499, cuántos sombreros blancos ve él: si sigue viendo un número par de blancos, es porque el suyo es negro; si ve un número impar de blancos, es porque el suyo es blanco. Y al revés, si el prisionero 500 dice “negro" ya sabe que su colega ve un número impar de blancos, si él, el 499, sigue viendo un número impar es porque lleva negro, y si ve un número par, es porque lleva blanco. A continuación, el prisionero 498, en función de la paridad que anunció el 500 y la respuesta del 499, cuenta si hay un número par o impar de gorros blancos y adivina el suyo. Y así, hasta el final, aciertan, seguro, 499 prisioneros.

¿Y el 500? Este acierta con probabilidad del 50% si el color de su gorro coincide con el código de paridad que han acordado. O sea, que con este método, se salvan todos, con probabilidad del 50%.

¿Y si hay gorros de más de dos colores? Eso lo contamos otro día, pero, básicamente, se trata de diseñar algo parecido al código corrector de errores que contó mi amiga Mati aquí.

Lo dicho, a veces es mejor pensar alguna estrategia de grupo cuando nos avisen de alguna futura medida social macabra que llorar, rezar o tuitear nuestra indignación. Eso sí, que no se enteren de que nos reunimos.